新訂版 数理解析学概論

(iPhoneではギリシャ文字のファイと積分記号や全角のアルファベットは言語を英語に切り替えると見やすくなります. )まず旧版と新訂版に共通することを述べる.第17章までは, 第6章を除き, 代数学, 集合論, 位相空間論, 解析学, 解析的整数論, 幾何学, 表現論など(で使われる多く)の数学を凝縮している. 第17章までは計算が多くない. 定義と定理が多く長くなる第18章以降は, 読みやすさのために同じ定義または定理を繰り返し述べている. 論理展開と記号は現代的である. 飛ばすことはできるが, 第6章で自然数論の不完全性を述べているのは珍しい. また擬微分作用素の応用について書かれた唯一の和書と言ってよいであろう. 常に定義→定理→証明という形ではなく直観的な説明もあり意外と読みやすい. 字が大きく適度に余白もある. 本文に関連する参考文献が比較的こまめに挙げられているのも良い.はじめに「自然現象と線型現象」と題して自己相似性と線型代数の考え方を提示する. 本書は, 高校数学Cにあった, 2×2型行列を主体とする線型代数の初歩を既知として, なぜ線型代数を学ぶ必要があるのか, 線型代数の考え方は何か, から始める.さらに抽象的に(※0)短くまとめた線型代数を経て, 現代数学を構成する集合論を構成する.線型代数については数ベクトル空間(ユークリッド空間)のベクトルと行列および連立１次方程式から話を始める. 対角化の意義がわかりやすい. ケイリー-ハミルトンの定理の証明も簡潔で明解である. なお線型空間や線型写像の例はバナッハ空間における微分法の章やリーマン積分の章や線型位相空間の章にもある.また, 私は本書で類の公理とZFC公理系を合わせた公理系による集合の厳密な定義を理解できた.そして解析学の本論が実数論から始まり, 位相空間論, 普通の微分を含むバナッハ空間における微分法, 積分法, ルベーグ積分, 線型位相空間, ボホナー積分, 振動積分, 擬微分作用素など, 解析学の最前線に至るまで接続している. 級数の章では, 冪級数の微分積分が先取りして扱われている. 複素解析を述べた本ではないが, 指数関数と三角関数と円周率の定義は複素解析的なもので鮮やかである. 物理学で重要な熱伝導方程式とシュレディンガー方程式とハミルトン-ヤコビ方程式が現れるのも良いと思う. また実数の連続性の章と位相空間の章を合わせると, 実数の連続性公理については杉浦の「解析入門Ⅰ」より詳しい.線型代数の章では, 齋藤正彦の「線型代数入門」(※1)に倣った箇所も多い印象がある. しかし, 有限次元線型空間の次元が一意的に定まることの誤りを含む証明(※2)は正しく言い換えられている.順序数と濃度の章でも, 公理的集合論に沿った順序数の理論など和書としては珍しい内容がある. 整列集合αが順序数でありx∈αならx＝y∈αかつxも順序数であり切片⊆αも順序数であることが, Ｑの切断によるＲの構成の基になっている. さらに実数の連続性を示したときＲの完備な全順序体としての公理的定義にも言及している. また, ここをヒントに数とは何か結論が出た. プロフィールのリンク先を参照されたい.位相空間の章におけるバナッハの不動点定理(縮小写像の原理)の提示と証明は偏微分方程式の適切性(初期値に連続して対応する充分滑らかで一意な解の存在問題)を意識していて感動した.線型位相空間の章にある関数空間と超関数の理論は単体では読めない「非線型発展方程式の実解析的方法」(※3)を読む時にも参考になる. 超関数の空間の位相を, 線型位相空間の理論で厳密に定式化している. 超関数の使用者には不必要だろうけれど, 実数の構成と同じく数学の概念の存在を保証しているのだ. ここには最も感動した. 超関数の定義域となる空間(Ωにおける試験関数の成す空間)Ｄ(Ω)を線型位相空間の理論に従って構成している. 手元の位相空間論が書かれた本に片っ端から当たったが「帰納極限位相」は無かった. 本書で「非線型発展方程式の実解析的方法」にあった謎の言葉の意味を知ることができた. (Ωはユークリッド空間内の開集合. C^∞級多様体の開部分多様体とすることもある. )コンパクト集合上の連続関数が一様連続であること(定義域の任意の２点間で激しく変動しない連続性)の証明は, 背理法と選択公理によるものではなく, コンパクト性と連続性の定義に従うきれいなものである.測度空間の構成では途中に「よく現れる天下り的で証明に帰納法を使わせる不等式」が論理の流れから自然に現れている結論であり, かなりきれいな証明である. 測度空間とルベーグ非可測集合とルベーグ積分の構成はあらゆる本の中で最も短く簡単に書いてあり, 直積測度空間の解説もあるが面倒な直積測度の構成はせず, 最小限の説明すべきことだけを書いてあるので読みやすい. なお「a.e.」は「almost everywhere」(殆んど至る所)を意味する. (完備化の一意性の証明に補足:可測集合A⊆Bと測度mに対し m(B)＝m((B−A)∪A)＝m(B−A)＋m(A)≧m(A) ∴ m(A)≦m(B). その系として, 集合または可測集合A⊆Bと測度m, 外測度m*に対し m*(A)≦m(B), m(A)＜∞ならばm(B−A)＝m(B)−m(A), m*(A)＜∞ならばm*(B−A)＝m*(B)−m*(A). )また ∫f(x)dx という記号を連続関数fの「任意の原始関数のうちのひとつを表す記号」と定義している. 高校数学のように「不定積分または原始関数」あるいは「任意の原始関数をまとめて表したもの」ではない. 原始関数の公式は「或る実定数Cが存在してF(x)＋C＝∫f(x)dx」という形に述べている. あいまいな所が無く良い定義だと感じた. ( ∫f(x)dx はユークリッド空間におけるルベーグ測度によるルベーグ積分を表すときもある. )ハーン-バナッハの定理の証明は集合族Aの和集合∪AがAの全ての要素を含むAの「上界」であることを知っておくとあらゆる本の中で最も理解しやすい.新訂版に固有なことまたは関連することを書く.少しの記号が統一のため或いは普及しているものに合わせるべく変更されている. ルベーグ積分の章における致命的な誤植が訂正され, 線型位相空間の章では試験関数の空間Ｄ(Ω)の構成における不備が正され新たな説明も加わり, また脚注と定理が増えた. 内容が最も大きく変わったのは, 著者が序文で重要な話題とし和書では貴重である台がコンパクトな超関数が新たに加筆されたことである. (応用については書かれていない. )しかし, 本書には集合の開近傍の定義が無い. 位相空間(X,Ｏ)においてK⊂Xの開近傍とはKを含むXの開集合(K⊆U∈ＯとなるU⊆X)を言う. なお解析学では点または集合の近傍と言えば基本的に開近傍を意味する. 閉近傍は「閉領域」「Kを含む有界閉集合」「Kを含むコンパクト集合」のように表現される. (解析学において関数の定義域はハウスドルフ空間であり, ハウスドルフ空間のコンパクトな部分集合は閉集合である. )ユークリッド空間における定数係数線型偏微分作用素Pについて, Pu＝δの解(Pの基本解)Eにより, 台がコンパクトな任意の超関数 f に対する方程式Pu＝fの解uはEとfの合成積(畳み込み)u＝E＊fとして表される. 任意のPに対してEは超関数の成す空間(常用されている関数空間としては最も広い局所可積分関数の成す空間を含む)Ｄ'の中に必ず存在することが知られている. ゆえにu∈Ｄ'も必ず存在する. fがC^∞級関数であり台がコンパクトならば, uもC^∞級関数である. 系として, 任意のf∈Ｄ'に対するPu＝fの閉包がコンパクトな開集合Ωにおける解u∈Ｄ'(Ω), 任意のf∈C^∞(Ω)に対するPu＝fの閉包がΩでコンパクトな開集合ω⊂Ωにおける解u∈C^∞(ω)の存在も言える.(超関数Eと台がコンパクトな超関数fの合成積 E＊f∈Ｄ' は任意のφ∈Ｄに対して〈E＊f, φ〉＝〈E(x),〈f(y), φ(x＋y)〉〉により定義されている.〈f(y), φ(x＋y)〉がxの関数として∈Ｄだからである(※4). なお‪φ∈Ｄの変数をxとするときφ(x)に超関数f∈Ｄ'を作用させる( φ→f(φ) ＝〈f, φ〉を求める)ときはfをf(x)と書き〈f, φ〉を〈f(x), φ(x)〉と書く‬. 局所可積分関数とその関数が一意に定める超関数の同一視により, E∈L^p(1≦p≦∞)かつf∈C^∞の台がコンパクトなときxをx−yに置き換え, ヘルダーの不等式とフビニの定理とルベーグ測度の平行移動不変性を用いると, 任意のφ∈Ｄに対して∫(E＊f)(x)φ(x)dx＝∫(∫E(x−y)f(y)dy)φ(x)dxが得られ変分法の基本補題よりE＊fは通常の合成積(E＊f)(x)＝∫E(x−y)f(y)dyとなる.E∈Ｄ' かつ f∈Ｄの場合はC^∞級関数として(E＊f)(x) ＝〈E(y), f(x−y)〉により定義されている. やはりE∈L^pであれば(E＊f)(x)＝∫E(y)f(x−y)dy＝∫E(x−y)f(y)dyとなる. )これらは偏微分方程式論(※5)における基礎である. (超関数と偏微分方程式については, 谷島の「物理数学入門」も参考にした. また本書でも述べられている, 非線型偏微分方程式の理論で重要な緩増加超関数の概念は, 擬微分作用素の定義に用いられる振動積分の定義を理解する補助にもなる. )新たに加筆された台がコンパクトな超関数についての定理17.17では「supp(f)がコンパクトな任意のf∈D'はsupp(f)の近傍でゼロに等しいφ∈Ｅ(＝C^∞)に対して『〈g, φ〉＝ 0』を満たすg∈Ｅ'に一意的に拡張される」とあるがsupp(g)＝supp(f)でありsupp(f)の近傍でゼロでないφ∈Ｅに対しては「〈g, φ〉≠ 0」でありうる.以下, 旧版と新訂版の, 自明ではない箇所に関して考え得た結論について.自然数論の不完全性の章では A⇒B が ¬A∨B と表されることを既知としている. これは直観的に言うと ¬(A⇒B) が A∧(¬B) であるから二重否定の法則とド・モルガンの法則による. (位相空間の章とルベーグ積分の章で集合族についてのド・モルガンの法則も既知としている. )実数の連続性の章とバナッハ空間における微分法の章では, 実数またはバナッハ空間の元に対する絶対値またはノルムについての三角不等式||a||－||b||≦||a－b||≦||a||＋||b||を既知としている. 左側は ||a||＝||(a−b)＋b||≦||a－b||＋||b|| により, 右側は||a－b||＝||a＋(－b)||≦||a||＋||－b|| による. (和の絶対値またはノルムは, 絶対値またはノルムの和以下になる. )測度空間の完備化について. Sの可測集合族Ｂに対する__Ｂ＝ D⊆S, ∃E∈Ｂ, ∃N∈Ｂ,(D∪E)−(D∩E)＝(D−E)∪(E−D)⊆N, m(N)＝0において, 大雑把に言うとDは可測集合Eとは零集合Nの分だけ異なるSの部分集合でありNはDのいわば「いくらでも潰せる複雑な部分」である.線型位相空間の章に, 自明ではなく証明がない命題があるので, 直観的な自作証明を写真で紹介しておく.(帰納的極限の定義で, S_α_(α∈A)の和集合Sを直和Σ_(α∈A)S_αと仮定するのは, S_α_(α∈A)の帰納的極限が一意に存在するためである. Ｄ(Ω)は, 集合としては台がΩでコンパクトなC^∞級関数の成す集合((C^∞)_0)(Ω)に一致し, 位相は帰納極限位相が入る. ゆえにＤ(Ω)の一意性は, S＝Σ_(K∈A)(Ｄ_K)(Ω)という仮定を使わずＤ(Ω)＝lim_(K→Ω)(Ｄ_K)(Ω)が集合としては(∪_(K⊂Ω))(Ｄ_K)(Ω)＝((C^∞)_0)(Ω)に一致することを証明すれば, 定理として得られる. 読者への配慮で省略されている証明は「シュワルツ超関数入門」が参考になる. また, 知らなくても良いことだが, 標準写像(環準同型写像)(Ｄ_K)(Ω)∋φ→φ∈Ｄ(Ω)は(Ｄ_K)(Ω)-代数の構造射である. )帰納的極限の定義の自作図説の写真は, レビューの一覧のページまたはPCサイトから確認していただきたい. 本書を読むために圏論の知識は不要だが, 前者における普遍射Fは群論や環論の準同型定理も参考になる.バナッハ空間の間の写像f:V→Wについて, Vの開集合Gの点aにおける微分の定義式lim_(x→a)||f(x)−f(a)−Df(a)(x−a)||/||x−a||＝0 (∃Df(a)∈B(V, W))はfが(多変数)関数なら点aにおける通常の(全)微分可能性を意味する. (複素)ユークリッド空間における有界線型汎関数は定ベクトルと変数ベクトルとの内積で表されるからである. (リースの表現定理17.22の特別な場合. )バナッハ空間Vからバナッハ空間Wへのx∈Gにおいて2回微分可能な写像fの2階微分(D^2)f(x)∈B(V, B(V, W))が双線型写像(D^2)f(x):V×V→Wとみなせることは, 微分の定義式より任意のu∈Vに対して(D^2)f(x)(u)∈B(V, W)だから,任意のv∈Vを固定すると((D^2)f(x)(u))(v):V∋u→((D^2)f(x)(u))(v)∈Wはuについて線型写像かつ任意のu∈Vを固定すると((D^2)f(x)(u))(v):V∋v→((D^2)f(x)(u))(v)∈Wはvについて線型写像,ゆえに(D^2)f(x)を変数がuとvのWへの関数(D^2)f(x)(u, v):V×V∋(u, v)→(D^2)f(x)(u, v)∈Wとして定義できることによる. 具体的には(D^2)f(x)(u, v)＝((D^2)f(x)(u))(v)とすればよい.「2回微分可能な関数の2階偏導関数の値は偏微分の順序によらない」ことの証明では(u, v)がuvと書かれている. 証明は∀u, v∈V, ∀ε＞0, ||(D^2)f(x_0)uv－(D^2)f(x_0)vu||＜4ε(||u||＋||v||)^2＝4((||u||＋||v||)^2)εでありεは任意に小さくできることにより終わる. (点x_0における関数fの, ベクトルu方向の変化率のベクトルv方向の変化率((D^2)f(x_0)(u))(v)＝((D^2)f(x_0)(v))(u)であるから. )例えば‪, fがＲ^2の領域Aにおける実数値C^2級関数なら点(a, b)∈Aにおけるfの2階偏導関数の値は‬, 滑らかな曲面S＝ z＝f(x, y), (x, y)∈Aの点(a, y, f(a, y))における接平面の(x, 0)方向の傾き‬‪(∂f/∂x)(a, y)‬‪の(0, y)方向の傾き‬‪((∂/∂y)(∂f/∂x))(a, b)‬＝((∂^2)f/(∂y∂x))(a, b)‪と, xとyおよびaとbを適材適所で入れ替えたもの((∂/∂x)(∂f/∂y))(a, b)‬＝((∂^2)f/(∂x∂y))(a, b)があり, S上で(∂f/∂x)(a, y)および(∂f/∂y)(x, b)が(0, y)方向および(x, 0)方向に連続的に変化していくから,図形的には点(a, b)において((∂^2)f/(∂y∂x))(a, y)と((∂^2)f/(∂x∂y))(x, b)は等しいことがわかる.(※0) 本書を読む時に限らず線型代数を学ぶ際に知っておいたほうがよいことを以下にまとめる.・高校数学で扱われているベクトルの正射影の公式・有界閉区間[a, b]で連続な実数値関数の成す集合は無限次元であり内積(f, g)＝∫_[a, b]f(x)g(x)dxにより計量線型空間になること・線型空間Vの線型部分空間Wによる商空間V/WはWと平行な部分集合の成す線型空間であること・線型空間の例:3次元空間Ｒ^3内の図形として見ればわかるようにＲ^1＝Ｒ⊂Ｒ^2⊂Ｒ^3が線型(部分)空間であること, Ｒ^2やＲ^3の原点を通る直線や平面はＲ^2やＲ^3の部分空間であること,「自然現象と線型現象」で登場するフィボナッチ数列の漸化式など定数係数斉次線型漸化式を満たす数列の集合が線型演算 ax_n＋by_n＝a(x_n)＋b(y_n) により線型空間を成すこと, 数直線Ｒの部分集合を定義域とする実数値連続関数や実数値可微分関数の成す集合が線型演算 (af＋bg)(x)＝af(x)＋bg(x) により線型空間を成すこと, 確率変数全体の集合は線型空間を成すこと・線型写像の例:((無限和が)収束する)数列にその項の有限和または無限和を対応させる写像x_n→Σx_n, 極限値を対応させる写像x_n→lim_(n→∞)x_n, 関数に関数値を対応させる写像f→f(a), 可微分関数に微分係数を対応させる写像f→f'(a), 可微分関数に導関数を対応させる写像f→f', 連続関数にその積分値を対応させる写像f→∫_[a, b]f(x)dx, 原始関数のひとつを対応させる写像f→∫_[a, x]f(t)dt, 確率変数にその期待値を対応させる写像X→E[X]. 適当に(線型漸化式や)線型独立な元の集合を定めそれで張られる(有限次元)部分空間を作ると, これらは行列で表される. 特に線型空間の要素にスカラーを対応させる線型写像は線型汎関数と呼ばれ, 数ベクトルで表される.(※1)-(※2)-(※3)-(※4)-(※5) コメントとプロフィールのリンク先に詳しいことを書いておきました。レビュー文中のリンク先には本書のヒントになることも書いています。それらとこのレビューが本書を読む際の参考になれば幸いです。必要に応じて印刷してお使いください。(2020年2月4日最終推敲)